在刑事拘留后，被拘留人有权选择辩护人进行其辩护。辩护人在整个刑事诉讼程序中扮演着至关重要的角色，保障了被告的合法权益。在律师代理权委托书交与哪个部门这一问题上，需要考虑到流程与具体事项。
根据我国《刑事诉讼法》的规定，被告人在刑事拘留后有权委托辩护人进行辩护，但需符合法定程序。一般来说，被告人应向拘留所所在地的律师协会或司法部门提出辩护人委托书。辩护律师一般由当事人选择，也可由律师自行申请认定。被告人可以根据自己的意愿和实际情况选择合适的辩护律师。
根据《律师法》的规定，律师是法律职业的从业人员，代表当事人进行法律援助和代理活动。因此，被告人委托的辩护律师必须是具有合法执业资格的律师，否则不具备代理资格。在节选法律依据时，引用《律师法》第十二条：“律师应当按照法律规定的程序，向有关机关办理代理手续，取得代理资格。”
在委托书交给哪个部门这一问题上，被告人应当根据具体情况选择合适的机关或部门。一般情况下，可以选择当地律师协会或司法行政机关进行委托。根据《律师法》第十三条的规定：“律师办理代理手续，向其注册所在地的律师协会或者律师事务所所在地的司法行政机关报备。”被告人应当遵守相关法律规定，按照规定的程序向指定的机关提交委托书。
刑事拘留后，辩护人委托书的交给需要考虑到流程与事项。被告人应当按照法定程序选择合适的律师，并将委托书交给指定的机关或部门。这样才能保证被告人在刑事诉讼过程中获得合法的代理，并维护自身的合法权益。